Addition et soustraction des nombres décimaux en CM2 : leçon, exemples et exercices

Pourquoi aligner les virgules change tout

Quand tu additionnes ou soustrais des nombres décimaux, la virgule n'est pas un simple signe de ponctuation : elle marque la frontière entre la partie entière et la partie décimale du nombre, et elle indique où se trouvent les unités, les dixièmes, les centièmes. Si tu poses une opération sans aligner les virgules les unes sous les autres, tu risques d'additionner ou de soustraire des chiffres qui n'ont pas la même valeur, par exemple ajouter un dixième à une unité, ou une centaine à un centième. Le résultat obtenu serait alors totalement faux, même si tes calculs de chiffres isolés sont corrects. C'est pour cette raison que la toute première étape, avant même de commencer à calculer, consiste à écrire les nombres les uns sous les autres en faisant coïncider parfaitement les virgules sur une même colonne verticale. Une fois les virgules alignées, chaque colonne de chiffres représente un seul et même rang : les centaines sous les centaines, les dizaines sous les dizaines, les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes. Tu peux alors calculer colonne par colonne, en partant toujours de la droite, exactement comme tu le fais avec des nombres entiers. Retiens ceci : un nombre décimal mal aligné donne presque toujours un résultat faux, même si la technique de calcul elle-même est maîtrisée.

Le vocabulaire à connaître par cœur

• Partie entière : les chiffres placés à gauche de la virgule (les unités, dizaines, centaines...).
• Partie décimale : les chiffres placés à droite de la virgule (les dixièmes, centièmes, millièmes...).
• Dixième : le premier chiffre après la virgule ; il représente un dixième de l'unité.
• Centième : le deuxième chiffre après la virgule ; il représente un centième de l'unité.
• Retenue : le chiffre que tu reportes dans la colonne suivante quand une addition dépasse 9.
• Emprunt : l'unité que tu empruntes à la colonne de gauche quand une soustraction est impossible.
• Zéro intercalaire ou rang vide : un zéro qu'on ajoute pour compléter un nombre et pouvoir calculer sans erreur.
• Terme : chacun des nombres que l'on additionne.
• Différence : le résultat d'une soustraction.

Poser une addition de nombres décimaux, étape par étape

Pour poser une addition de deux nombres décimaux, commence toujours par repérer celui qui a le plus de chiffres après la virgule : c'est lui qui te donne le nombre de colonnes décimales à prévoir. Écris ensuite le second nombre avec autant de chiffres après la virgule, en complétant par des zéros si nécessaire ; cela ne change absolument pas sa valeur, un peu comme 3,5 euros et 3,50 euros représentent exactement la même somme. Pose alors les deux nombres l'un sous l'autre en alignant soigneusement les virgules, puis trace un trait en dessous. Commence le calcul par la colonne la plus à droite, c'est-à-dire le rang le plus petit, souvent les centièmes, et remonte progressivement vers la gauche, colonne après colonne. Chaque fois que la somme d'une colonne dépasse 9, écris uniquement le chiffre des unités de ce total dans la colonne, et reporte une retenue de 1 dans la colonne immédiatement à gauche. N'oublie jamais de redescendre la virgule à la verticale, exactement à l'endroit où elle se trouve dans les deux nombres que tu as additionnés : c'est une vérification simple qui te permet de repérer immédiatement une erreur d'alignement. Une fois arrivé à la dernière colonne de gauche, ton calcul est terminé : relis le résultat en entier pour t'assurer qu'il a du sens par rapport aux nombres de départ.

Exemple d'addition posée : 45,8 + 12,65

La règle d'or de la pose en colonnes

Poser une soustraction : gérer les retenues avec des décimales

La soustraction posée de nombres décimaux suit la même logique que l'addition pour l'alignement, mais elle demande une attention particulière aux emprunts. Comme pour l'addition, commence par donner aux deux nombres le même nombre de chiffres après la virgule, en ajoutant des zéros si besoin. Pose ensuite le plus grand nombre au-dessus du plus petit, aligne les virgules, puis calcule colonne par colonne en partant de la droite. Si le chiffre du haut est plus petit que le chiffre du bas dans une colonne, tu ne peux pas soustraire directement : tu dois emprunter une unité à la colonne immédiatement à gauche. Cette unité empruntée vaut dix fois plus dans la colonne de droite : une unité empruntée aux dizaines devient dix unités, une unité empruntée aux unités devient dix dixièmes, une unité empruntée aux dixièmes devient dix centièmes. N'oublie pas de diminuer de 1 le chiffre de la colonne à gauche que tu viens d'emprunter, sinon ton résultat sera faux. Ce mécanisme peut se répéter plusieurs fois de suite si plusieurs colonnes contiennent un zéro, ce qui arrive souvent quand on soustrait un nombre décimal à un nombre entier.

Le piège des rangs vides

Compléter avec des zéros sans changer la valeur du nombre

Ajouter un ou plusieurs zéros à droite de la partie décimale d'un nombre ne modifie jamais sa valeur : 7 est égal à 7,0 et à 7,00 ; 2,4 est égal à 2,40 et à 2,400. C'est parce que chaque zéro ajouté représente zéro dixième, zéro centième ou zéro millième supplémentaire, ce qui ne change rien à la quantité totale. Cette règle est précieuse pour poser tes opérations : elle te permet de transformer tous les nombres d'un même calcul pour qu'ils aient exactement le même nombre de chiffres après la virgule, sans jamais fausser le résultat. En revanche, fais attention à ne jamais ajouter de zéro avant la virgule sans réfléchir : ajouter un zéro devant la partie entière ne pose pas de problème (007 égale 7), mais insérer un zéro au mauvais endroit dans la partie décimale, comme écrire 2,4 sous la forme 2,04, change complètement la valeur du nombre. Vérifie donc toujours que tu ajoutes les zéros seulement à la toute fin du nombre, jamais entre la virgule et un chiffre déjà écrit.

Vérifie avec un ordre de grandeur

Additionner ou soustraire plus de deux nombres décimaux

La méthode reste identique lorsque tu dois additionner trois nombres décimaux ou plus : aligne toujours toutes les virgules sur une même colonne verticale, complète chaque nombre avec des zéros pour qu'ils aient tous la même longueur de partie décimale, puis additionne colonne par colonne en gérant les retenues normalement. La seule différence, c'est que les retenues peuvent devenir plus grandes : avec trois nombres, une colonne peut par exemple totaliser 27, ce qui donne une retenue de 2 à reporter au lieu d'une retenue de 1. Prends ton temps sur chaque colonne et vérifie ton addition intermédiaire avant de reporter la retenue, pour éviter les erreurs d'inattention. Pour une chaîne de soustractions, comme calculer ce qu'il reste après plusieurs dépenses, il est souvent plus simple de faire les soustractions les unes après les autres plutôt que de tout combiner en une seule opération : soustrais le premier montant, puis soustrais le second montant du résultat obtenu, et ainsi de suite.

Où retrouve-t-on ces calculs dans la vie réelle ?

• Faire ses courses : additionner le prix de plusieurs articles ou calculer la monnaie rendue.
• Mesurer une distance parcourue en plusieurs étapes, en kilomètres ou en mètres.
• Peser des ingrédients pour une recette et connaître la masse totale.
• Comparer un budget prévu et les dépenses réelles pour savoir ce qu'il reste.
• Additionner ou soustraire des durées exprimées avec des dixièmes de seconde en sport.