La proportionnalité en CM2 : reconnaître les situations

Comprendre l’idée de proportionnalité

Une situation est proportionnelle lorsque deux grandeurs évoluent ensemble de manière régulière. Une grandeur est une quantité que tu peux mesurer ou compter : un nombre d’objets, un prix, une durée, une distance, une masse ou une quantité d’ingrédients. Dans une situation proportionnelle, si tu prends davantage de la première grandeur, tu obtiens exactement autant de fois davantage de la seconde. Par exemple, si un billet de spectacle coûte toujours le même prix, acheter 2 billets coûte 2 fois le prix d’un billet. Acheter 4 billets coûte 4 fois le prix d’un billet. Le lien reste le même à chaque fois. Tu n’as pas besoin d’écrire de formule compliquée : observe, compare et explique avec des mots. Nova te conseille de chercher une multiplication facile : doubler, tripler, prendre la moitié ou prendre 5 fois plus.

Le mot important

Repérer les situations qui fonctionnent « au même rythme »

Certaines situations sont souvent proportionnelles. Le prix de plusieurs objets identiques est proportionnel à leur nombre, si chaque objet a le même prix. La quantité de farine est proportionnelle au nombre de recettes identiques, si chaque recette utilise la même quantité de farine. La distance parcourue est proportionnelle au temps, si la vitesse reste la même tout le long du trajet. La masse de pommes est proportionnelle au nombre de sachets, si chaque sachet a la même masse. Ces conditions sont essentielles. Si le prix change à cause d’une promotion, si les recettes sont différentes ou si la vitesse varie, le lien régulier peut disparaître. Avant de répondre, lis donc tous les détails de l’énoncé. Un petit mot comme « toujours », « identique », « même prix » ou « à vitesse constante » est souvent un bon indice.

Les questions à te poser

• Quelles sont les deux grandeurs comparées ? Nomme-les clairement.
• Est-ce que la situation garde la même règle à chaque fois ?
• Si une quantité double, l’autre double-t-elle aussi ?
• Si une quantité est multipliée par 3, l’autre est-elle aussi multipliée par 3 ?
• Y a-t-il un prix fixe, un cadeau, une réduction, un départ déjà commencé ou une condition qui casse la régularité ?

Utiliser le test du double et du triple

Le test le plus rapide consiste à vérifier ce qui se passe quand une quantité double ou triple. Imagine qu’un paquet de 6 feutres coûte 9 €. Si tu achètes 2 paquets identiques, tu as 2 fois plus de paquets et tu paies 2 fois 9 €, donc 18 €. Si tu achètes 3 paquets, tu as 3 fois plus de paquets et tu paies 3 fois 9 €, donc 27 €. Le prix suit exactement le nombre de paquets : la situation est proportionnelle. Tu peux aussi raisonner dans l’autre sens. Si 8 bouteilles remplissent 2 caisses identiques, 4 bouteilles, c’est la moitié de 8 ; elles rempliront donc la moitié de 2 caisses, c’est-à-dire 1 caisse. Dans une proportionnalité, partager une quantité en deux partage aussi l’autre quantité en deux. Ce raisonnement est très utile, car il ne demande ni tableau particulier ni calcul compliqué.

Indices à observer

Ne confonds pas « cela augmente » et « c’est proportionnel »

Deux quantités peuvent augmenter toutes les deux sans être proportionnelles. Voici un exemple : Léa a 4 autocollants au départ. Chaque jour, elle reçoit 3 autocollants. Après 1 jour, elle en a 7 ; après 2 jours, elle en a 10 ; après 3 jours, elle en a 13. Le nombre de jours augmente, le nombre d’autocollants augmente aussi, mais il y avait déjà 4 autocollants au début. Si le nombre de jours double, le nombre d’autocollants ne double pas forcément. Passer de 1 jour à 2 jours fait doubler le temps, mais passer de 7 à 10 autocollants ne fait pas doubler la collection. Ce n’est donc pas une situation de proportionnalité. Le même piège existe avec un taxi qui demande un prix de prise en charge avant de compter les kilomètres, ou avec une carte de cantine payée une seule fois au début de l’année.

Attention au prix de départ

Dire et écrire une justification

Pour justifier ta réponse, ne te contente pas d’écrire « oui » ou « non ». Construis une phrase qui montre ton raisonnement. Si la situation est proportionnelle, tu peux écrire : « C’est une situation de proportionnalité car, si on achète 3 fois plus d’objets identiques, on paie 3 fois plus. » Tu peux aussi préciser le calcul observé : « 10 € devient 20 € quand le nombre d’objets passe de 2 à 4 : les deux quantités doublent. » Si la situation n’est pas proportionnelle, explique ce qui ne suit pas la même multiplication : « Ce n’est pas proportionnel car le nombre de jours double, mais le prix ne double pas : un abonnement fixe est payé une seule fois. » Une justification réussie contient donc une comparaison et les mots « double », « triple », « moitié » ou « même nombre de fois ».

Une méthode en quatre étapes

• Lis l’énoncé et souligne les deux grandeurs comparées.
• Cherche une relation simple : le double, le triple, la moitié ou 5 fois plus.
• Vérifie que les deux grandeurs changent de la même manière.
• Conclue par une phrase complète : « C’est proportionnel car… » ou « Ce n’est pas proportionnel car… ».

Des cas particuliers à examiner

Une situation peut être proportionnelle même si les nombres ne sont pas très grands. Si 1 badge coûte 3 €, alors ½ badge n’a pas de sens dans la réalité, mais le raisonnement sur les badges entiers reste régulier : 2 badges coûtent 6 €, 3 badges coûtent 9 €. À l’inverse, une situation peut sembler régulière sur un seul exemple et ne pas l’être vraiment. Si un marchand annonce qu’un jus coûte 2 € mais offre le troisième, 1 jus coûte 2 €, 2 jus coûtent 4 €, mais 3 jus coûtent encore 4 €. Le triple du nombre de jus ne donne pas le triple du prix. Ce n’est pas proportionnel sur l’ensemble de la situation. Vérifie donc plusieurs valeurs lorsque c’est possible. Nova insiste : un seul calcul juste ne suffit pas toujours ; il faut regarder si la même règle peut continuer.

Le radar de Nova

Prépare ton raisonnement pour la 6e

Pour l’entrée en 6e, entraîne-toi surtout à expliquer ce que tu observes. Dans les problèmes, la bonne réponse n’est pas seulement un nombre : c’est aussi la phrase qui prouve que tu as compris le lien entre les deux grandeurs. Utilise un vocabulaire précis : « nombre d’objets », « prix total », « quantité par recette », « temps », « distance », « même prix », « même vitesse ». Ne cherche pas à appliquer une règle automatique. Demande-toi toujours si la situation peut être racontée avec une phrase de multiplication. Par exemple : « Avec 5 fois plus de portions identiques, il faut 5 fois plus de fruits. » Si cette phrase est vraie, tu es sur la bonne piste. Si elle devient fausse à cause d’un coût de départ, d’un cadeau ou d’un changement de condition, alors la situation n’est pas proportionnelle.