Résoudre des problèmes de proportionnalité en plusieurs étapes en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Reconnais une situation de proportionnalité

Dans une situation de proportionnalité, deux quantités évoluent ensemble de façon régulière. Par exemple, si 4 bouteilles de jus coûtent 6 €, alors 8 bouteilles coûtent le double : 12 €. Si tu achètes trois fois plus de bouteilles, tu paies trois fois plus cher. Le prix dépend ici du nombre de bouteilles, à condition que toutes les bouteilles aient le même prix. Une situation est proportionnelle lorsque l'on peut multiplier une quantité par un même nombre et multiplier l'autre quantité par ce même nombre. Tu peux aussi reconnaître cette relation en observant qu'ajouter des quantités revient à ajouter les valeurs correspondantes. Attention : deux nombres placés dans un tableau ne sont pas forcément proportionnels. Il faut comprendre le lien entre eux et vérifier qu'il reste toujours le même.

Les mots importants

Observe les deux propriétés utiles

Utilise la linéarité multiplicative

La linéarité multiplicative est pratique lorsque le nombre recherché est un multiple du nombre connu. Avec 3 sachets pour 240 g, tu peux trouver la masse de 6 sachets en multipliant par 2 : 3 × 2 = 6, donc 240 × 2 = 480. Pour 12 sachets, tu multiplies par 4 : 3 × 4 = 12, donc 240 × 4 = 960. Tu peux aussi revenir à une plus petite quantité. Si 6 sachets correspondent à 480 g, 3 sachets correspondent à la moitié : 480 ÷ 2 = 240. Dans ce cas précis, tu divises les deux quantités par 2. Vérifie toujours que tu appliques exactement la même opération aux deux lignes. Ne multiplie jamais une seule quantité : les deux valeurs doivent évoluer ensemble.

Utilise la linéarité additive

La linéarité additive sert à fabriquer une nouvelle ligne en additionnant des lignes déjà connues. Reprends les sachets de graines. Tu connais 3 sachets pour 240 g et 6 sachets pour 480 g. Pour obtenir 9 sachets, tu calcules 3 + 6 = 9. Tu ajoutes alors les masses : 240 g + 480 g = 720 g. Tu peux écrire : 9 sachets correspondent à 720 g. Cette propriété est particulièrement utile lorsque le nombre recherché n'est pas un multiple simple du nombre de départ. Par exemple, pour trouver 15 sachets, tu peux réunir 12 sachets et 3 sachets. Comme 12 sachets correspondent à 960 g et 3 sachets à 240 g, tu obtiens 960 g + 240 g = 1 200 g. L'addition ne fonctionne que si les lignes décrivent la même situation : mêmes sachets, même masse par sachet et mêmes unités.

Suis une méthode en plusieurs étapes

• Lis la question finale. Entoure ce que tu dois trouver et son unité : euros, grammes, litres ou objets.
• Repère les données utiles. Écris la relation connue sous la forme d'une phrase ou d'un tableau.
• Choisis une première étape simple. Double, triple, partage ou additionne pour créer une ligne intermédiaire utile.
• Construis la quantité recherchée. Combine plusieurs lignes si nécessaire, par exemple 14 = 12 + 2.
• Rédige chaque étape. Explique ce que représente chaque calcul : « Pour 12 objets… », puis « Pour 2 objets… ».
• Relis ton résultat. Vérifie qu'il est logique : davantage d'objets doit donner un prix, une masse ou une longueur plus grande lorsque la situation est proportionnelle.

Exemple guidé : préparer 10 sandwiches

Choisis des étapes qui te simplifient le travail

Dans un problème, plusieurs chemins peuvent mener au résultat. Choisis celui dont les calculs te semblent les plus faciles. Si 5 carnets coûtent 12,50 €, tu peux trouver le prix de 15 carnets en multipliant par 3. Mais pour 17 carnets, tu peux d'abord chercher 15 carnets, puis ajouter 2 carnets. Pour connaître le prix de 2 carnets, tu peux partager le prix de 5 carnets en cinq parts égales afin de trouver le prix d'un carnet, puis multiplier par 2. Il est important d'écrire pourquoi tu fais chaque opération. N'écris pas seulement « 12,50 × 3 ». Écris plutôt : « Pour 15 carnets, je triple le nombre de carnets, donc je triple le prix. » Ton raisonnement devient facile à relire et à corriger.

Attention aux unités et au sens du résultat

Avant de calculer, observe les unités. Tu peux additionner 250 g et 400 g, car ce sont deux masses exprimées en grammes. En revanche, tu ne peux pas additionner directement 2 kg et 300 g sans tenir compte des unités. Transforme d'abord 2 kg en 2 000 g, puis ajoute : 2 000 g + 300 g = 2 300 g. Pour les prix, aligne bien les virgules lorsque tu poses une addition ou une soustraction. Dans une situation proportionnelle où le prix par objet reste le même, acheter plus d'objets coûte plus cher. Si ton résultat annonce un prix plus petit alors que tu as acheté beaucoup plus, arrête-toi et vérifie tes calculs. Le sens du problème est un excellent outil de contrôle.

Ne confonds pas addition des lignes et addition au hasard

Rédige une réponse claire

Une bonne réponse contient les calculs utiles, leur explication et une phrase finale. Tu peux utiliser ce modèle : « Pour obtenir …, je … la quantité connue. Donc … . Ensuite, j'ajoute … . Ainsi, … . » Par exemple : « Pour 8 boîtes, je double 4 boîtes. La masse est donc 600 g. Pour compléter jusqu'à 10 boîtes, j'ajoute la masse de 2 boîtes : 150 g. Ainsi, 10 boîtes pèsent 750 g. » Nova te rappelle que les étapes intermédiaires ne sont pas du temps perdu : elles montrent ton idée et t'aident à éviter les erreurs. C'est une habitude très utile pour préparer l'entrée en 6e.