Division décimale, dividende entier, diviseur à un chiffre en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Quand une division ne s’arrête pas

Une division sert à partager une quantité en parts égales ou à chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Par exemple, 25 ÷ 4 signifie : « Si je partage 25 en 4 parts égales, combien y a-t-il dans chaque part ? » Tu peux d’abord trouver 6, car 4 × 6 = 24. Il reste 1. Pourtant, le partage n’est pas terminé : il reste encore une unité à partager. Tu peux donc poursuivre le calcul après la virgule pour obtenir un résultat plus précis. Dans 25 ÷ 4, le résultat exact est 6,25. Cela signifie que chaque part contient 6 unités et 25 centièmes d’unité. Une division qui donne un résultat avec une virgule s’appelle une division décimale. Ici, le nombre à partager est entier, c’est-à-dire qu’il ne possède pas de virgule au départ. Le nombre par lequel tu divises n’a qu’un chiffre : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Nova te conseille de ne pas t’arrêter dès qu’il reste quelque chose : observe la consigne et décide si tu dois continuer exactement ou donner une valeur approchée.

Les mots utiles pour comprendre le calcul

Comprendre le reste

Commence comme dans une division entière

Pose d’abord la division de la même manière qu’une division entière. Cherche combien de fois le diviseur entre dans les chiffres du dividende, sans dépasser. Pour calculer 47 ÷ 4, regarde 4 : il entre 1 fois dans 4. Écris 1 au quotient. Calcule 1 × 4 = 4, puis soustrais : 4 − 4 = 0. Abaisse le 7. Dans 7, le 4 entre 1 fois. Écris 1 au quotient, puis calcule 1 × 4 = 4. La soustraction donne 7 − 4 = 3. À ce moment, tu as obtenu 11 et il reste 3. Tu pourrais écrire 47 = 4 × 11 + 3. Mais si tu veux connaître une part exacte, il faut continuer. Ne place pas la virgule avant d’avoir terminé tous les chiffres du dividende entier. La virgule apparaît seulement lorsque tu décides de poursuivre la division avec des dixièmes. Cette place est importante : elle montre que les chiffres qui suivent ne sont plus des unités, mais des parties d’unité.

La méthode pour continuer après la virgule

• Termine d’abord la division avec tous les chiffres du dividende entier.
• Si le reste est 0, la division est exacte : tu peux t’arrêter.
• Si le reste n’est pas 0, place une virgule dans le quotient, juste après les unités déjà trouvées.
• Ajoute un zéro à droite du reste. Ce zéro transforme les unités restantes en dixièmes.
• Divise ce nouveau nombre par le même diviseur, puis écris le chiffre trouvé après la virgule.
• Multiplie, soustrais et recommence tant que le reste n’est pas nul ou jusqu’à la précision demandée.

Pourquoi ajoute-t-on un zéro ?

Ajouter un zéro ne change pas la valeur du reste si tu écris aussi une virgule dans le quotient. Par exemple, après 47 ÷ 4, il reste 3 unités. Ces 3 unités peuvent être vues comme 30 dixièmes. Tu ajoutes donc un zéro au reste et tu calcules 30 ÷ 4. Le 4 entre 7 fois dans 30, car 4 × 7 = 28. Tu écris 7 après la virgule. Il reste 30 − 28 = 2. Ces 2 dixièmes peuvent être vus comme 20 centièmes. Ajoute encore un zéro : 20 ÷ 4 = 5. Le reste est alors nul. Tu as trouvé 47 ÷ 4 = 11,75. Les chiffres 7 et 5 ne sont pas placés au hasard : 7 représente des dixièmes et 5 représente des centièmes. C’est pourquoi il est indispensable de mettre la virgule dans le quotient avant d’écrire ces chiffres. Sans elle, 1175 serait un nombre beaucoup trop grand et ne correspondrait plus au partage de 47 en 4 parts.

Exemple guidé : 25 ÷ 4

Un zéro peut apparaître dans le quotient

Parfois, après avoir ajouté un zéro au reste, le diviseur n’entre aucune fois dans le nombre obtenu. Tu dois alors écrire 0 dans le quotient, puis continuer. Ce zéro est indispensable : il garde la bonne place aux chiffres suivants. Observe 3 ÷ 8. Comme 8 n’entre pas dans 3, écris d’abord 0 avant la virgule : le quotient commence par 0,. Ajoute un zéro au reste : 30 ÷ 8 = 3, car 8 × 3 = 24. Il reste 6. Ajoute un zéro : 60 ÷ 8 = 7, car 8 × 7 = 56. Il reste 4. Ajoute un zéro : 40 ÷ 8 = 5. Le reste devient nul. Tu trouves 3 ÷ 8 = 0,375. Le 0 avant la virgule montre qu’il n’y a aucune unité entière dans le quotient. Ne l’oublie jamais : écrire 3,75 donnerait un résultat dix fois trop grand.

Quotient exact ou quotient approché ?

Un quotient exact donne la valeur complète demandée par le calcul. Il est obtenu quand le reste devient 0. Par exemple, 18 ÷ 5 = 3,6, car 5 × 3,6 = 18. Tu peux aussi écrire 3,60 : ces deux écritures désignent le même nombre. En revanche, certaines divisions ne se terminent pas : les restes recommencent ou ne deviennent jamais nuls. Pour 22 ÷ 3, tu trouves 7, puis 7,3, puis 7,33, puis encore d’autres chiffres. Si la consigne demande une valeur au dixième près, tu peux donner un quotient approché. Au dixième près, 22 ÷ 3 ≈ 7,3. Le signe ≈ signifie « est environ égal à ». Lis très attentivement la précision demandée : au dixième près, garde un chiffre après la virgule ; au centième près, garde deux chiffres après la virgule. Si aucune précision n’est demandée et que la division ne s’arrête pas, demande ce que ton enseignant attend ou indique que le résultat est approché.

Choisis la bonne réponse selon la situation

• Pour partager une somme d’argent en parts égales, poursuis souvent jusqu’aux centimes, car la monnaie utilise deux chiffres après la virgule.
• Pour mesurer une longueur avec une précision demandée au dixième, arrête-toi au dixième après avoir vérifié le chiffre suivant pour arrondir.
• Pour un calcul dont le reste devient 0, donne le quotient exact.
• Pour une estimation rapide, donne une valeur approchée et écris le signe ≈, jamais le signe =.

Ne confonds pas la virgule et le reste

Vérifie ton résultat avec une multiplication

Une vérification te permet de repérer une erreur de calcul ou une virgule mal placée. Si le quotient est exact, multiplie le quotient par le diviseur : tu dois retrouver le dividende. Pour vérifier 6,25 dans 25 ÷ 4, calcule 6,25 × 4. Tu obtiens 25 : le résultat est cohérent. Tu peux aussi faire une estimation avant de poser la division. Dans 47 ÷ 4, 48 ÷ 4 = 12. Le résultat 11,75 est donc plausible, car il est proche de 12 et un peu plus petit. Si tu trouvais 117,5, tu saurais immédiatement que la virgule est mal placée : 47 partagé en 4 parts ne peut pas donner plus de 47 dans chaque part. Nova t’encourage à utiliser ces deux contrôles : une estimation avant le calcul et une multiplication après le calcul. Ils te rendent plus sûr de toi pour préparer l’entrée en 6e.