Problèmes de dénombrement en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Chercher toutes les possibilités

Dans un problème de dénombrement, tu dois trouver combien de possibilités différentes peuvent être formées. Il ne s’agit pas de calculer une addition ou une multiplication posée tout de suite. Tu dois d’abord comprendre les choix possibles et les organiser. Par exemple, Nova possède 3 casquettes : rouge, bleue et verte. Il possède aussi 2 vestes : jaune et grise. Il veut savoir combien de tenues différentes il peut porter avec une casquette et une veste. Chaque tenue correspond à une association : une casquette avec une veste. Rouge avec jaune est une tenue ; rouge avec grise en est une autre. Ton but est de recenser toutes les associations possibles.

Le mot dénombrer signifie compter des objets, des choix ou des situations de manière organisée. Ici, les objets ne sont pas forcément devant toi : ce peuvent être des menus, des codes, des chemins, des équipes, des vêtements ou des places. Pour être juste, ton dénombrement doit respecter deux règles : ne rien oublier et ne rien compter deux fois. Ces deux règles sont plus importantes que d’aller vite. Nova préfère une liste lente mais complète à une réponse rapide et incertaine.

Les mots utiles

Commence par comprendre les choix

Avant de dessiner un tableau ou un arbre, lis l’énoncé attentivement. Repère ce qui varie. Demande-toi : « Combien y a-t-il de premiers choix ? Combien y a-t-il de seconds choix ? Dois-je choisir un élément dans chaque groupe ? L’ordre a-t-il une importance ? » Ces questions t’évitent des erreurs.

Suppose qu’un glacier propose les parfums citron, fraise et vanille, avec les cornets petit ou grand. Si tu choisis un parfum et une taille, citron-petit et citron-grand sont deux possibilités différentes, car la taille change. En revanche, si tu dois choisir deux prénoms pour former une équipe sans rôle particulier, l’équipe Lina-Noé est la même que l’équipe Noé-Lina. Dans ce cas, l’ordre ne crée pas une nouvelle possibilité. Il faudra donc faire très attention à ne pas écrire la même équipe dans les deux sens.

Entoure mentalement les mots importants : « avec », « puis », « un parmi », « deux parmi », « dans un ordre différent », « sans ordre ». Ils te renseignent sur ce que tu dois compter. Si l’énoncé est difficile, reformule-le à voix basse avec tes propres mots : « Je dois associer chaque parfum à chaque taille » ou « Je dois former des paires sans tenir compte de l’ordre ».

La méthode de Nova en cinq gestes

• 1. Repère les groupes de choix. Écris-les séparément : par exemple, couleurs : rouge, bleu ; formes : rond, carré, triangle.
• 2. Choisis une façon de t’organiser. Utilise une liste, un tableau ou un arbre selon ce qui te semble le plus lisible.
• 3. Garde un ordre fixe. Commence toujours par le même choix et fais varier l’autre choix dans le même ordre.
• 4. Compte les possibilités obtenues. Tu peux les numéroter pour ne pas te tromper.
• 5. Vérifie. Reprends chaque premier choix : a-t-il été associé à tous les choix possibles ? Cherche aussi les doublons.

Utiliser une liste organisée

La liste organisée est pratique quand il y a peu de possibilités. Écris d’abord toutes celles qui commencent par le même élément, puis passe au suivant. Par exemple, avec les lettres A, B et les chiffres 1, 2, 3, forme des codes d’une lettre suivie d’un chiffre. Commence par A : A1, A2, A3. Puis continue avec B : B1, B2, B3. Tu obtiens 6 codes.

L’ordre est essentiel dans ta liste. Ne saute pas de A1 à B2 puis à A3 : tu risques d’oublier B1 ou de répéter un code. Tu peux tracer un trait quand tu as terminé une série. Ici, chaque lettre est associée successivement à tous les chiffres. Tu peux alors constater que A donne 3 codes et B donne aussi 3 codes. Comme il y a 2 séries de 3 codes, tu peux écrire 2 × 3 = 6.

Attention : ce calcul est valable parce que chaque lettre peut être associée à chacun des 3 chiffres. Si certaines associations étaient interdites, tu ne pourrais pas multiplier aussi vite. Il faudrait barrer les associations impossibles ou les compter une par une.

Lire et compléter un tableau à double entrée

Le tableau : une case pour chaque association

Un tableau à double entrée permet de croiser deux groupes de choix. Place un groupe en haut et l’autre à gauche. Chaque case représente une possibilité. Dans le tableau, Nova peut choisir une boisson et un goûter. Il y a 2 lignes de choix pour les boissons et 3 colonnes de choix pour les goûters. Toutes les cases sont remplies : il y a donc 6 possibilités.

Le tableau est très utile pour vérifier ton travail. Regarde chaque ligne : eau est associée à pomme, yaourt et biscuit. Jus est aussi associé à pomme, yaourt et biscuit. Aucune case n’est vide, donc aucune association n’a été oubliée. Une possibilité ne peut apparaître que dans une seule case, donc le risque de doublon est faible.

Quand toutes les associations sont autorisées, tu peux calculer le nombre de cases en faisant lignes × colonnes. Ici : 2 × 3 = 6. Cette multiplication est valable seulement si chaque élément de la première liste peut être associé à chaque élément de la seconde liste. Si Nova ne peut pas boire de jus avec le biscuit, la case correspondante doit être barrée. Il reste alors 5 possibilités, et non 6.

Dessiner un arbre de choix

L’arbre de choix ressemble à des branches qui partent d’un même point. Il montre les choix dans leur ordre. Utilise-le lorsqu’une situation se déroule en plusieurs étapes : choisir une couleur, puis une forme, puis une taille, par exemple. Chaque chemin complet, du départ jusqu’à l’extrémité d’une branche, représente une possibilité.

Imagine que Nova choisisse un robot rouge ou vert, puis un autocollant étoile, lune ou éclair. Depuis le point de départ, trace 2 branches : rouge et vert. Depuis chacune de ces branches, trace 3 nouvelles branches : étoile, lune et éclair. Tu peux lire les chemins : rouge-étoile, rouge-lune, rouge-éclair, vert-étoile, vert-lune, vert-éclair. Il y en a 6.

Pour vérifier un arbre, compte le même nombre de branches après chaque premier choix lorsque les choix sont tous autorisés. Ici, rouge a 3 suites et vert a aussi 3 suites. Si une branche n’a pas toutes les suites prévues, demande-toi si une association est interdite ou si tu as oublié de la dessiner. Écris les résultats au bout des branches : ton arbre sera plus facile à lire.

Ordre important ou ordre sans importance ?

Quand certaines possibilités sont interdites

Tous les problèmes ne permettent pas d’associer chaque choix avec tous les autres. Il faut alors représenter les possibilités et supprimer celles qui sont impossibles. Par exemple, un jeu propose les personnages pirate, astronaute et magicien, avec les véhicules vélo et fusée. Mais le magicien ne peut pas monter dans la fusée. Commence par prévoir 3 × 2 = 6 associations possibles si tout était autorisé. Puis barre magicien-fusée. Il reste 5 possibilités.

Tu peux aussi compter directement : pirate a 2 véhicules, astronaute a 2 véhicules, magicien a 1 véhicule. Alors 2 + 2 + 1 = 5. Cette méthode est particulièrement utile lorsque chaque premier choix n’offre pas le même nombre de suites. Ne fais pas une multiplication automatique si les lignes de ton tableau ne contiennent pas toutes le même nombre de cases possibles.

Dans ta réponse, écris une phrase complète. Par exemple : « Il y a 5 possibilités, car une association est interdite. » Une phrase explique ce que représente ton nombre. Nova te rappelle qu’un nombre seul ne dit pas toujours ce que tu as compté.

La vérification finale

• Relis l’énoncé et vérifie que tu as utilisé tous les choix annoncés.
• Contrôle chaque ligne de ton tableau ou chaque première branche de ton arbre.
• Cherche deux écritures qui représenteraient la même possibilité.
• Si l’ordre ne compte pas, classe les éléments toujours de la même façon.
• Écris une phrase-réponse avec l’unité adaptée : codes, tenues, menus, chemins ou équipes.

Le signal de Nova