Suites de motifs évolutives en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Une suite qui se transforme

Une suite de motifs évolutive est une série de dessins construits dans un ordre précis. À chaque étape, le motif se transforme : il peut grandir, perdre des éléments, alterner ses couleurs, changer de direction ou suivre plusieurs règles à la fois. Par exemple, imagine une suite de carrés : à l’étape 1, il y a 2 carrés ; à l’étape 2, il y en a 4 ; à l’étape 3, il y en a 6. Le nombre de carrés augmente de 2 à chaque fois. La règle est donc : « J’ajoute 2 carrés à chaque étape. » Deux tâches t’attendent tout au long de cette leçon : poursuivre la suite en dessinant le motif suivant à la bonne place, et calculer le nombre d’éléments d’une étape éloignée sans tout dessiner. Une suite évolutive n’est pas une collection de dessins posés au hasard : chaque étape est liée à la précédente et obéit à une même règle. Nova te conseille de ne pas répondre trop vite : une seule image ne suffit presque jamais pour comprendre une suite.

Les mots importants

Commence toujours par observer

• Lis le numéro de chaque étape. Ne confonds pas le rang de l’étape avec le nombre d’éléments dessinés.
• Compte les éléments de chaque motif : carrés, points, allumettes, triangles ou jetons.
• Observe leur place : sont-ils ajoutés à droite, en bas, tout autour, ou dans une nouvelle ligne ?
• Cherche ce qui reste identique et ce qui change. Le centre peut rester fixe pendant que la bordure grandit.
• Compare au moins deux passages successifs : de l’étape 1 à l’étape 2, puis de l’étape 2 à l’étape 3.
• Dis la règle avec une phrase précise : « J’ajoute une rangée de 3 carrés » est plus utile que « ça augmente ».

Distingue le rang et le nombre d’éléments

Le rang indique où se trouve le motif dans la suite. Le nombre d’éléments indique combien il contient. Ces deux nombres ne sont pas forcément les mêmes. Dans une suite, l’étape 1 peut contenir 3 triangles, l’étape 2 peut en contenir 5 et l’étape 3 peut en contenir 7 : les rangs sont 1, 2 et 3, tandis que les nombres de triangles sont 3, 5 et 7. Si l’on demande le nombre de triangles à l’étape 10, tu ne dois pas écrire 10 sans vérifier la règle. Ici, on ajoute 2 triangles à chaque étape : à partir de 3 triangles à l’étape 1, l’étape 10 contient donc 3 + 9 × 2 triangles, car il y a 9 passages entre l’étape 1 et l’étape 10. Retiens bien : le rang n’est jamais le nombre d’ajouts à effectuer.

Lis une évolution régulière

Trouve la règle avec les écarts

Quand les motifs sont formés d’éléments identiques, tu peux étudier les écarts entre les nombres. Dans le tableau, les nombres sont 4, 7, 10 et 13. Calcule les différences : 7 − 4 = 3, 10 − 7 = 3 et 13 − 10 = 3. Le même écart apparaît chaque fois : la suite augmente de 3 perles à chaque étape. Cette méthode ne fonctionne que si le même ajout ou le même retrait se répète à chaque passage. Si les écarts sont différents, ne conclus pas trop vite : 2, 5, 9, 14 augmente de 3, puis de 4, puis de 5, la règle n’est pas « j’ajoute toujours la même quantité », mais « j’ajoute 3, puis 4, puis 5… ». Regarde aussi le dessin, car il peut révéler pourquoi les ajouts changent.

Exemple : une tour de cubes

Regarde la forme, pas seulement le total

Deux motifs peuvent contenir le même nombre d’éléments tout en ayant des structures différentes : il faut donc observer la disposition, pas seulement le total. Une figure peut grandir en ajoutant une ligne et une colonne. Par exemple, un carré de 2 rangées et 2 colonnes contient 4 petits carrés ; un carré de 3 rangées et 3 colonnes contient 9 petits carrés. Le total ne passe pas de 4 à 6 : il passe de 4 à 9, car on ajoute une ligne de 3 carrés et une colonne de 2 carrés. Le carré placé dans le coin est commun à la nouvelle ligne et à la nouvelle colonne : il ne faut pas le compter deux fois. Pour comprendre un motif géométrique, découpe-le mentalement en parties : les lignes, les colonnes, la bordure et le centre, c’est cette disposition qu’il faut reproduire quand tu poursuis la suite, pas seulement un total. Nova dit : « Compte les groupes avant de compter les petits carrés un par un. »

Une méthode pour une étape éloignée

• Écris le rang demandé et le nombre connu au départ.
• Trouve combien de passages séparent les deux étapes. De l’étape 2 à l’étape 8, il y a 6 passages.
• Repère ce qui est ajouté ou retiré à chaque passage.
• Calcule le total ajouté ou retiré. Si l’on ajoute 4 éléments pendant 6 passages, calcule 6 × 4.
• Ajoute ou retire ce total au nombre de départ.
• Relis la question et indique clairement le nombre d’éléments à l’étape demandée.

Calcule sans dessiner toutes les étapes

Dessiner chaque étape est utile au début, mais cela devient long pour une étape éloignée. Suppose qu’à l’étape 1 il y a 6 étoiles et que l’on ajoute 4 étoiles à chaque étape. Pour l’étape 7, il faut passer 6 fois d’une étape à la suivante : calcule 6 × 4 = 24, puis 6 + 24 = 30. L’étape 7 contient 30 étoiles ; tu peux vérifier en poursuivant rapidement : 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Si la suite retire des éléments, utilise une soustraction : une suite commence avec 25 jetons et en perd 3 à chaque étape, donc après 4 passages il reste 25 − 4 × 3, soit 13 jetons. Vérifie toujours qu’un nombre d’éléments ne devient pas négatif : un dessin ne peut pas contenir moins de zéro élément.

Ne confonds pas une alternance et une augmentation

Explique ton raisonnement

En mathématiques, une réponse est plus claire lorsqu’elle montre la règle utilisée. Au lieu d’écrire seulement « 23 », écris par exemple : « À chaque étape, on ajoute 3 points. De l’étape 2 à l’étape 7, il y a 5 passages. Donc on ajoute 5 × 3 = 15 points. Comme l’étape 2 contient 8 points, l’étape 7 en contient 8 + 15 = 23. » Cette phrase permet de vérifier le calcul, à toi comme à ton enseignant. Pour préparer l’entrée en 6e, entraîne-toi à transformer ce que tu observes dans un dessin en une phrase, puis en un calcul. Le dessin montre la structure ; la phrase exprime la règle ; le calcul permet d’atteindre une étape lointaine.

Le contrôle final de Nova