Les triangles en CM2 : reconnaître, nommer et justifier leurs propriétés

Le triangle, une figure à trois côtés

Un triangle est une figure géométrique qui a exactement trois côtés, trois sommets et trois angles. C'est la figure la plus simple que tu puisses construire avec des segments de droite : il suffit de relier trois points qui ne sont pas alignés. Ces trois points sont appelés les sommets du triangle. On les nomme souvent avec des lettres majuscules, par exemple A, B et C. Le triangle formé s'écrit alors triangle ABC. Chaque côté relie deux sommets : le côté [AB], le côté [BC] et le côté [AC]. Chaque sommet est aussi le point où se rencontrent deux côtés, et c'est là que se forme un angle. Un triangle possède donc toujours trois angles, et la somme de ces trois angles vaut toujours 180°, quelle que soit la forme du triangle. Retiens bien cette figure : tous les polygones peuvent être découpés en triangles, c'est pour cela qu'on l'appelle parfois la « brique de base » de la géométrie.

Le vocabulaire à connaître par cœur

• Sommet : point où se rencontrent deux côtés du triangle.
• Côté : segment de droite qui relie deux sommets.
• Angle : ouverture formée par deux côtés qui se rejoignent en un sommet.
• Hauteur : segment qui part d'un sommet et rejoint le côté opposé en formant un angle droit.
• Hypoténuse : dans un triangle rectangle, le côté le plus long, toujours situé en face de l'angle droit.

Les trois types d'angles à repérer

Avant de classer un triangle, il faut aussi savoir reconnaître trois types d'angles. Un angle aigu est un angle plus petit qu'un angle droit, donc inférieur à 90° : il a l'air « pointu ». Un angle droit mesure exactement 90°, comme le coin d'une équerre ou le coin d'une feuille de papier. Un angle obtus est un angle plus grand qu'un angle droit, donc supérieur à 90° : il a l'air « ouvert », presque aplati. Un triangle peut donc être classé une seconde fois selon ses angles : un triangle est acutangle si ses trois angles sont aigus, rectangle s'il a un angle droit, et obtusangle s'il a un angle obtus. Un triangle ne peut jamais avoir deux angles obtus ni deux angles droits en même temps, car la somme dépasserait ou atteindrait déjà 180° à elle seule, ce qui ne laisserait plus de place pour un troisième angle.

Classer les triangles selon leurs côtés

Pour reconnaître la nature d'un triangle, la première chose à observer, ce sont ses côtés. Si les trois côtés ont des longueurs différentes, le triangle est dit quelconque (on dit aussi scalène). Si deux côtés seulement ont la même longueur, le triangle est isocèle : il a alors aussi deux angles égaux, ceux qui sont à la base, en face des côtés égaux. Si les trois côtés ont exactement la même longueur, le triangle est équilatéral : dans ce cas très particulier, les trois angles sont égaux eux aussi, et ils mesurent chacun 60°, puisque 60° + 60° + 60° = 180°. Pour vérifier la longueur des côtés sans te tromper, utilise toujours une règle graduée ou un compas : place la pointe sèche sur un sommet, ouvre le compas jusqu'à l'autre sommet, puis reporte cet écartement sur un autre côté pour comparer. C'est la méthode la plus fiable, bien plus sûre qu'un simple coup d'œil qui peut tromper selon la façon dont la figure est dessinée sur la feuille. Un triangle isocèle dessiné « penché » ressemble parfois à un triangle quelconque si tu ne mesures pas vraiment.

Les trois familles de triangles selon les côtés

Le triangle rectangle : un cas à part

Un triangle peut aussi être classé selon ses angles, et le cas le plus important à connaître est le triangle rectangle. Un triangle rectangle possède un angle droit, c'est-à-dire un angle qui mesure exactement 90°. Ce triangle se distingue par la présence de ce sommet particulier, où deux côtés se rencontrent en formant un coin parfaitement droit, comme le coin d'une feuille de papier. Le côté qui se trouve juste en face de l'angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. Les deux autres côtés, ceux qui forment l'angle droit, sont plus courts. Pour vérifier qu'un angle est vraiment droit, utilise une équerre : place le coin de l'équerre exactement sur le sommet du triangle, et fais coïncider les deux bords de l'équerre avec les deux côtés du triangle. Si les côtés suivent parfaitement les bords de l'équerre, alors l'angle est droit et ton triangle est bien rectangle. Attention : un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle si les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur. On l'appelle alors un triangle rectangle isocèle.

La règle d'or des angles

Un exemple pour bien comprendre

Méthode en 4 étapes pour trouver la nature d'un triangle

• Observe d'abord si un angle semble droit ; vérifie-le avec une équerre.
• Mesure les trois côtés avec une règle ou un compas et compare leurs longueurs.
• Si deux côtés sont égaux, cherche aussi les deux angles égaux à la base.
• Écris la nature complète du triangle, en combinant si besoin deux propriétés (exemple : triangle rectangle isocèle).

Construire un triangle avec un compas

Pour construire un triangle quand tu connais la longueur de ses trois côtés, commence par tracer un premier côté avec ta règle, par exemple le côté [AB]. Ensuite, prends ton compas et règle l'écartement sur la longueur du deuxième côté, celui qui part du point A ; pique la pointe sèche en A et trace un arc de cercle. Fais de même depuis le point B avec l'écartement du troisième côté : trace un second arc de cercle. Le point où les deux arcs se croisent est le troisième sommet du triangle, celui que tu dois appeler C. Il ne reste plus qu'à relier A à C et B à C avec ta règle pour terminer la figure. Cette méthode fonctionne pour n'importe quel triangle, à condition que les trois longueurs choisies permettent réellement de fermer la figure : si un côté est plus long que la somme des deux autres, les arcs de cercle ne se croiseront jamais et le triangle sera impossible à construire.

Piège à éviter

Ce qu'il ne faut pas confondre

Un triangle ne peut jamais avoir deux angles droits, ni même deux angles obtus (supérieurs à 90°) : la somme dépasserait 180°, ce qui est impossible. Un triangle a donc toujours au moins deux angles aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90°. Ne confonds pas non plus « côtés égaux » et « côtés qui se ressemblent sur le dessin » : un triangle mal tracé à main levée peut sembler isocèle sans l'être réellement, c'est pourquoi la mesure est indispensable et ne doit jamais être remplacée par une simple impression visuelle. Enfin, un triangle équilatéral est toujours isocèle, puisqu'il a bien deux côtés égaux en plus du troisième, mais un triangle isocèle n'est pas toujours équilatéral : c'est un cas particulier inclus dans un cas plus général.