Multiplier et diviser un décimal par 10, 100, 1 000 en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Comprendre ce que vaut chaque chiffre

Un nombre décimal est un nombre qui possède une partie entière et, parfois, une partie décimale. En écriture française, une virgule les sépare. Dans 34,56, le chiffre 3 représente 3 dizaines, le chiffre 4 représente 4 unités, le chiffre 5 représente 5 dixièmes et le chiffre 6 représente 6 centièmes. Chaque chiffre n’a donc pas toujours la même valeur : tout dépend de sa place. C’est cette idée qui permet de calculer rapidement avec 10, 100 et 1 000. Quand tu multiplies un nombre par 10, chaque chiffre vaut dix fois plus qu’avant. Il change alors de rang vers les grandes valeurs : les unités deviennent des dizaines, les dixièmes deviennent des unités. Quand tu divises un nombre par 10, c’est l’inverse : chaque chiffre vaut dix fois moins. Les unités deviennent des dixièmes et les dizaines deviennent des unités. La virgule paraît se déplacer, mais en réalité, ce sont les chiffres qui changent de colonne dans le tableau de numération. Cette explication t’aide à vérifier tes calculs et à ne pas appliquer une règle sans la comprendre.

Les mots importants

Multiplier par 10, 100 ou 1 000 : suis les rangs

• Repère le nombre de zéros : 10 possède un zéro, 100 possède deux zéros et 1 000 possède trois zéros.
• Pour multiplier par 10, fais avancer chaque chiffre d’un rang vers les grandes valeurs. Avec 6,08 × 10, 6 unités deviennent 6 dizaines et 8 centièmes deviennent 8 dixièmes. Tu obtiens 60,8.
• Pour multiplier par 100, fais avancer chaque chiffre de deux rangs. Avec 3,45 × 100, les 3 unités deviennent 3 centaines, les 4 dixièmes deviennent 4 dizaines et les 5 centièmes deviennent 5 unités. Tu obtiens 345.
• Pour multiplier par 1 000, fais avancer chaque chiffre de trois rangs. Avec 0,725 × 1 000, tu obtiens 725.
• Écris un zéro seulement s’il est nécessaire pour garder une place vide. Avec 8,4 × 100, le chiffre 8 devient une centaine et le chiffre 4 devient une dizaine : le résultat est 840. Le zéro indique qu’il n’y a aucune unité.
• Vérifie le sens de ton résultat. Multiplier par 10, 100 ou 1 000 rend toujours le nombre plus grand si le nombre de départ est positif et différent de 0. Ainsi, 0,47 × 100 doit être plus grand que 0,47 : le résultat 47 est cohérent.

Observer les changements de valeur

Diviser par 10, 100 ou 1 000 : rends le nombre plus petit

Pour diviser par 10, 100 ou 1 000, utilise la même idée de rangs, mais dans l’autre sens. Chaque chiffre se déplace vers les petites valeurs. Avec 234,5 ÷ 10, le chiffre 2 passe des centaines aux dizaines, le chiffre 3 passe des dizaines aux unités, le chiffre 4 passe des unités aux dixièmes et le chiffre 5 passe des dixièmes aux centièmes. Le résultat est 23,45. Pour 234,5 ÷ 100, chaque chiffre recule de deux rangs : tu trouves 2,345. Pour 234,5 ÷ 1 000, chaque chiffre recule de trois rangs : tu trouves 0,2345. Parfois, il n’y a pas assez de chiffres après la virgule. Il faut alors écrire des zéros à gauche du nombre décimal. Par exemple, 7 ÷ 10 = 0,7, car 7 unités deviennent 7 dixièmes. Puis 7 ÷ 100 = 0,07, car 7 unités deviennent 7 centièmes. Enfin, 7 ÷ 1 000 = 0,007, car 7 unités deviennent 7 millièmes. Le zéro placé avant la virgule est important : il montre que la partie entière est nulle. Vérifie toujours le sens : diviser un nombre positif par 10, 100 ou 1 000 donne un résultat plus petit que le nombre de départ, sauf si le nombre de départ est 0.

La règle de la virgule, expliquée correctement

Les zéros : utiles, mais pas toujours visibles

Les zéros peuvent avoir plusieurs rôles. Dans 4,06, le zéro est indispensable : il indique qu’il y a 0 dixième et 6 centièmes. Si tu écrivais 4,6, tu parlerais de 4 unités et 6 dixièmes : ce ne serait pas le même nombre. Dans un résultat comme 608, le zéro est également indispensable, car il indique qu’il n’y a aucune dizaine. Ainsi, 6,08 × 100 = 608. En revanche, un zéro placé à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre : 12,5 et 12,50 désignent la même quantité. Tu peux donc écrire 12,5 plutôt que 12,50 si aucune consigne ne demande un nombre précis de chiffres après la virgule. Fais aussi attention au calcul 4,3 × 1 000. Il faut trois déplacements vers les grandes valeurs : le résultat est 4 300. Le zéro final est nécessaire, car 4 milliers et 3 centaines font 4 300. À l’inverse, dans 4,3 ÷ 1 000, tu dois compléter avec des zéros : le résultat est 0,0043. Ces zéros permettent de placer correctement les 4 millièmes et les 3 dix-millièmes.

Une méthode de calcul mental solide

• Lis l’opération entière avant de calculer. Demande-toi si tu multiplies ou si tu divises.
• Compte les zéros du nombre 10, 100 ou 1 000. Ce nombre te donne le nombre de rangs à changer.
• Anticipe la taille du résultat : une multiplication doit agrandir le nombre ; une division doit le réduire, pour un nombre positif différent de 0.
• Déplace les chiffres dans ta tête en respectant les rangs, puis écris les zéros nécessaires. Par exemple, 9,3 ÷ 100 = 0,093.
• Relis le résultat en le prononçant. Le nombre 0,093 se lit « quatre-vingt-treize millièmes » : il est bien plus petit que 9,3.
• Si tu hésites, fais une vérification inverse. Puisque 0,093 × 100 = 9,3, le calcul 9,3 ÷ 100 = 0,093 est juste.

Ne confonds pas les deux sens