Les droites parallèles en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Des droites qui avancent côte à côte

Observe les lignes d’un cahier, les deux rails d’une voie ferrée ou les bords opposés d’une règle rectangulaire. Ces lignes semblent aller dans la même direction sans jamais se rencontrer. En géométrie, on dit qu’elles sont parallèles. Deux droites parallèles restent toujours à la même distance l’une de l’autre. Même si tu les prolonges très loin des deux côtés, elles ne se coupent pas. On peut noter deux droites avec des lettres entre parenthèses : (d) et (d’). Si elles sont parallèles, on écrit : (d) ∥ (d’). Le signe ∥ se lit « est parallèle à ». Attention : une droite n’a pas de fin. Sur ta feuille, tu ne vois qu’un morceau de droite, mais tu dois imaginer qu’elle continue tout droit au-delà du dessin. Nova dit : « Ne te fie pas seulement à ce que tu vois dans un petit coin de la feuille ! Pense à prolonger les droites dans ta tête. »

Le mot important

Ne pas confondre les positions de deux droites

Deux droites peuvent avoir plusieurs positions. Elles peuvent être parallèles : elles ne se rencontrent pas et gardent le même écart. Elles peuvent être sécantes : elles se coupent en un point. Elles peuvent aussi être perpendiculaires : elles sont sécantes et forment quatre angles droits. Les droites perpendiculaires ont donc une position très différente des droites parallèles. Une droite horizontale et une droite verticale se coupent généralement : elles ne sont pas parallèles. Deux droites inclinées peuvent pourtant être parallèles si elles penchent exactement dans la même direction. Ne décide donc jamais qu’une droite « penchée » n’a pas de parallèle. La position sur la feuille ne suffit pas : ce qui compte, c’est la direction. Deux petits segments qui ont l’air de ne pas se croiser peuvent appartenir à des droites qui se rencontreraient si on les prolongeait. Dans ce cas, elles ne sont pas parallèles. À l’inverse, deux segments très éloignés peuvent appartenir à des droites parallèles.

Reconnais chaque situation

Vérifie avant d’affirmer

À l’œil, tu peux avoir une première idée, mais un dessin peut te tromper. Pour vérifier que deux droites sont parallèles, utilise tes instruments. La première méthode emploie une équerre et une règle. Place un côté de l’équerre le long de la première droite. Pose la règle contre un autre côté de l’équerre. Sans bouger la règle, fais glisser l’équerre jusqu’à la seconde droite. Si le même côté de l’équerre se place exactement sur cette seconde droite, alors les deux droites sont parallèles. Cette vérification fonctionne car l’équerre garde la même direction pendant son déplacement. Une autre façon consiste à observer l’écart entre les deux droites à plusieurs endroits. Si l’écart semble constant, c’est un indice, mais ce n’est pas une preuve aussi sûre qu’un contrôle avec les instruments. Sur un quadrillage, deux droites qui suivent exactement le même déplacement de carreau en carreau sont parallèles. Par exemple, si une droite avance de trois carreaux vers la droite et monte d’un carreau, sa parallèle suit le même déplacement. Attention : sur une feuille non quadrillée, n’invente pas des carreaux. Utilise alors l’équerre et la règle.

La vérification avec l’équerre, pas à pas

• Place un bord de ton équerre exactement sur la première droite.
• Appuie une règle contre un autre bord de l’équerre et garde la règle immobile.
• Fais coulisser l’équerre le long de la règle, sans la tourner.
• Regarde le bord qui était sur la première droite : s’il recouvre la deuxième droite, les deux droites sont parallèles.
• Si le bord ne recouvre pas la deuxième droite, les droites ne sont pas parallèles.

Trace une parallèle avec précision

Pour tracer une droite parallèle à une droite donnée, tu as besoin d’une règle et d’une équerre. Commence par repérer la droite donnée, par exemple (d), et le point A par lequel doit passer la nouvelle droite. Place un côté de l’équerre exactement sur (d). Ensuite, pose ta règle contre un autre côté de l’équerre. Maintiens bien la règle avec une main : elle ne doit plus bouger. Fais glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à ce que le bord placé au départ sur (d) passe par le point A. Vérifie que ce bord passe bien par A. Trace alors la nouvelle droite le long de ce bord. Tu obtiens une droite (d’) qui passe par A et qui est parallèle à (d). Écris, si cela est demandé : (d’) ∥ (d). Le geste le plus important est le glissement. Tu dois faire avancer l’équerre sans la faire tourner. Si elle tourne, même un tout petit peu, la direction change et ta droite ne sera plus parallèle. Trace d’abord légèrement au crayon, contrôle, puis repasse si nécessaire. Garde toujours la pointe de ton crayon contre le bord de l’équerre pour obtenir un trait net.

Le geste de Nova

Des exemples pour raisonner

Dans un rectangle ABCD, les côtés opposés sont parallèles. Tu peux donc écrire : (AB) ∥ (CD) et (AD) ∥ (BC). En revanche, deux côtés voisins, comme [AB] et [BC], se rencontrent au point B : ils ne sont pas parallèles. Dans un carré, les côtés opposés sont aussi parallèles. Les côtés voisins y sont perpendiculaires. Dans une figure plus compliquée, cherche d’abord les segments qui semblent avoir la même direction. Prolonge-les mentalement, puis vérifie avec l’équerre. Ne confonds pas segment et droite : [AB] est le segment limité par A et B ; la droite (AB) passe par A et B et se prolonge des deux côtés. Quand on te demande de tracer une parallèle à une droite passant par un point, tu dois tracer une droite entière, pas seulement un petit morceau autour du point. Dans les exercices de CM2, le point donné est toujours situé en dehors de la droite (d), afin que tu traces une droite (d’) clairement distincte de (d) et bien visible sur le dessin. Retiens que « parallèles » désigne toujours deux droites différentes qui gardent la même direction sans jamais se toucher : ce mot ne s’utilise pas pour comparer une droite avec elle-même.

Reste attentif aux pièges du dessin

Des droites parallèles peuvent être horizontales, verticales ou inclinées. Elles peuvent être proches ou éloignées, longues ou courtes sur le dessin. Elles peuvent même être coupées par une troisième droite : cela ne change rien à leur parallélisme. Par exemple, les deux bords longs d’une route restent parallèles même si une rue les traverse. Cette troisième droite est alors sécante aux deux parallèles. Méfie-toi également des traits épais ou des dessins pris en perspective. Les bords d’une voie ferrée représentée dans un dessin de paysage semblent parfois se rapprocher vers le fond ; ce dessin donne une impression de profondeur, mais il ne sert pas à vérifier le parallélisme avec précision. En géométrie, appuie-toi sur les informations données, les codages de la figure et tes instruments. Si de petites flèches identiques sont dessinées sur deux droites, elles indiquent souvent que ces droites sont parallèles. Deux flèches identiques sur une autre paire indiquent une autre relation de parallélisme. Lis toujours les codages avec soin.

Le vocabulaire à retenir pour l’entrée en 6e

• Droite : ligne droite qui se prolonge sans fin des deux côtés.
• Segment : partie de droite limitée par deux points.
• Parallèles : droites de même direction qui ne se rencontrent jamais.
• Sécantes : droites qui se coupent.
• Perpendiculaires : droites qui se coupent en formant un angle droit.
• Point de passage : point par lequel la droite demandée doit passer.

Avant de rendre ton tracé