Diviseurs d'un nombre entier en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Comprendre le mot « diviseur »

Un diviseur est un nombre qui permet de partager une quantité en parts égales, sans rien laisser de côté. Observe le nombre 18. Si tu calcules 18 ÷ 3, tu trouves 6 et il ne reste rien. Le nombre 3 est donc un diviseur de 18. Tu peux aussi dire que 18 est divisible par 3. La division exacte 18 ÷ 3 = 6 montre également que 6 est un diviseur de 18. En effet, 18 ÷ 6 = 3, sans reste. Pour vérifier un diviseur, tu peux utiliser une division ou une multiplication. Si 5 × 4 = 20, alors 5 divise 20 et 4 divise 20. Attention : le résultat de la multiplication, ici 20, n’est pas un diviseur de 5 ou de 4. Il est un multiple de 5 et de 4. Les mots « diviseur » et « multiple » parlent de la même multiplication, mais ils ne désignent pas le même nombre.

La définition à retenir

Le vocabulaire utile

• Division exacte : une division dont le reste est 0. Par exemple, 24 ÷ 8 = 3 est une division exacte.
• Diviseur : un nombre qui partage exactement un autre nombre. Par exemple, 8 est un diviseur de 24.
• Multiple : un nombre obtenu en multipliant un nombre par un entier. Par exemple, 24 est un multiple de 8 car 8 × 3 = 24.
• Reste : ce qui ne peut pas être partagé également. Dans 17 ÷ 5, le quotient est 3 et le reste est 2 : 5 n’est donc pas un diviseur de 17.
• Liste des diviseurs : tous les nombres qui divisent exactement un nombre donné. Une liste doit être complète et rangée dans l’ordre croissant.

Tester si un nombre est diviseur

Pour savoir si un nombre est un diviseur, commence par faire la division. Cherche, par exemple, si 4 est un diviseur de 26. Calcule 26 ÷ 4. Tu peux former 6 groupes de 4, car 6 × 4 = 24. Il reste 2. La division n’est pas exacte : 4 n’est pas un diviseur de 26. Cherche maintenant si 2 est un diviseur de 26. Comme 2 × 13 = 26, la division 26 ÷ 2 est exacte. Donc 2 est un diviseur de 26. Tu peux souvent aller plus vite en utilisant les tables de multiplication. Pour vérifier si 6 divise 42, demande-toi : « Dans la table de 6, est-ce que je rencontre 42 ? » Oui, car 6 × 7 = 42. Donc 6 est un diviseur de 42. Ne te fie pas seulement au dernier chiffre, sauf lorsque tu connais une règle de divisibilité sûre. Par exemple, un nombre qui se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 est divisible par 2. Un nombre qui se termine par 0 ou 5 est divisible par 5. Ces règles permettent de repérer certains diviseurs, mais elles ne donnent pas tous les diviseurs.

Des divisions exactes et des divisions avec reste

Chercher les diviseurs par paires

La méthode des paires de facteurs est très pratique pour lister tous les diviseurs d’un nombre. Une paire de facteurs est une multiplication dont le résultat est le nombre étudié. Pour 24, commence par 1 : 1 × 24 = 24. Tu as trouvé les diviseurs 1 et 24. Continue avec 2 : 2 × 12 = 24. Ajoute 2 et 12. Puis essaie 3 : 3 × 8 = 24. Ajoute 3 et 8. Essaie 4 : 4 × 6 = 24. Ajoute 4 et 6. Ensuite, 5 ne convient pas, car 24 n’est pas dans la table de 5. Tu peux t’arrêter lorsque les deux nombres de la paire se rapprochent puis se croisent. La liste complète est : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Écris toujours les diviseurs une seule fois et dans l’ordre croissant. Les paires t’aident à ne rien oublier : chaque multiplication exacte apporte deux diviseurs, sauf dans un cas particulier.

Une recherche guidée pour 20

Lister tous les diviseurs d’un nombre inférieur ou égal à 30

Lorsque tu dois trouver tous les diviseurs d’un nombre inférieur ou égal à 30, avance avec méthode. Prenons 30. Écris d’abord 1 et 30, car 1 × 30 = 30. Teste ensuite 2 : 2 × 15 = 30, donc ajoute 2 et 15. Teste 3 : 3 × 10 = 30, donc ajoute 3 et 10. Teste 4 : aucune multiplication de la table de 4 ne donne 30. Teste 5 : 5 × 6 = 30, donc ajoute 5 et 6. Tu peux t’arrêter après 5, car la paire suivante commencerait par 6 et reprendrait 6 × 5. Range alors tous les nombres : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Vérifie que chaque nombre de ta liste donne un quotient entier. Pour 30, 30 ÷ 15 = 2 et 30 ÷ 10 = 3 : les grands diviseurs sont bien corrects. Ne saute pas le nombre 1 : 1 est le diviseur de tous les nombres entiers positifs. Ne saute pas non plus le nombre lui-même : 30 ÷ 30 = 1, donc 30 est un diviseur de 30.

Une méthode en cinq actions

• Écris le nombre dont tu cherches les diviseurs.
• Commence par la paire 1 × le nombre : 1 et le nombre sont des diviseurs.
• Teste les nombres suivants dans l’ordre : 2, puis 3, puis 4, et ainsi de suite.
• À chaque multiplication exacte, note les deux nombres de la paire.
• Range toute la liste dans l’ordre croissant et vérifie qu’aucun diviseur n’est écrit deux fois.

Trouver quelques diviseurs d’un nombre jusqu’à 100

Pour un nombre inférieur ou égal à 100, on peut te demander de trouver des diviseurs sans forcément tous les lister. Utilise alors les tables et les indices donnés par le nombre. Pour 84, tu sais que 1 et 84 sont des diviseurs. Le nombre 84 est pair : 2 est donc un diviseur, car 84 ÷ 2 = 42. Il se termine par 4 : cela ne suffit pas à dire qu’il est divisible par 5, donc 5 n’est pas un diviseur. Tu peux vérifier 3 avec la table : 3 × 28 = 84, donc 3 est un diviseur. Tu peux aussi repérer 4, car 4 × 21 = 84, puis 6, car 6 × 14 = 84, et 7, car 7 × 12 = 84. Si la consigne demande seulement « donne trois diviseurs de 84 », tu peux répondre 2, 3 et 7. Si elle demande « tous les diviseurs », prends le temps de chercher systématiquement avec les paires. Lis toujours la consigne avant de commencer.

Les cas particuliers à connaître

Certains nombres ont une liste de diviseurs très courte. Le nombre 1 possède un seul diviseur : 1. Il ne faut pas écrire 0, car on ne peut pas diviser un nombre par 0. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 13 a seulement 1 et 13 comme diviseurs. En revanche, 12 n’est pas premier, car il a plusieurs diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Les nombres comme 4, 9, 16 ou 25 sont appelés des carrés parfaits. Pour 16, tu trouves les paires 1 × 16, 2 × 8 et 4 × 4. Le nombre 4 apparaît deux fois dans la dernière multiplication, mais tu ne l’écris qu’une seule fois dans la liste. Les diviseurs de 16 sont donc 1, 2, 4, 8 et 16. C’est le cas particulier annoncé : au milieu d’une paire identique, un seul nouveau diviseur apparaît.

Évite deux confusions

Vérifier ta réponse avant de la rendre

Relis ta liste avec une dernière question : « Est-ce que chaque nombre partage exactement le nombre de départ ? » Pour les petits nombres, tu peux vérifier avec les paires de multiplications. Si tu as écrit que 7 est un diviseur de 28, contrôle avec 7 × 4 = 28. Si tu as écrit que 5 est un diviseur de 28, la table de 5 te montre que ce n’est pas possible : 5 × 5 = 25 et 5 × 6 = 30. Pense aussi à l’ordre. Une bonne réponse est facile à lire : « Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. » Nova te conseille de commencer par les petits nombres et de faire apparaître leurs partenaires. Avec cette organisation, tu avances sans hasard et tu prépares sereinement ton entrée en 6e.