Quantifier une probabilité, « a chances sur b » en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Une chance, qu'est-ce que c'est ?

Quand tu lances un dé, tu ne peux pas savoir avec certitude quel nombre apparaîtra. Tu peux seulement dire ce qui est possible et évaluer les chances de chaque résultat. Une probabilité permet de mesurer la chance qu'un événement se produise. Un événement est ce que tu cherches : obtenir un nombre pair, tirer une bille rouge ou tomber sur la case étoile d'une roue. Dans cette leçon, tu vas exprimer une probabilité avec les mots « a chances sur b ». Cette écriture indique combien de résultats conviennent parmi tous les résultats possibles. Nova prépare ton entrée en 6e : avance toujours en comptant avec soin, car les probabilités commencent par un bon dénombrement.

Deux mots indispensables

Seulement dans une situation équitable

Tu peux compter les chances sur un total lorsque les issues sont équiprobables. Ce mot signifie qu'elles ont toutes la même chance de se produire. Un dé ordinaire, bien équilibré, offre six faces qui ont la même chance d'apparaître. Une roue découpée en secteurs de même taille peut aussi être utilisée, à condition que le curseur tourne librement. Un sac contenant des jetons identiques au toucher convient également : chaque jeton doit pouvoir être tiré avec la même chance. En revanche, si une roue possède de grands secteurs et de petits secteurs, ou si certains jetons sont plus faciles à reconnaître au toucher, tu ne peux pas simplement compter les secteurs ou les jetons pour annoncer les chances. Avant tout calcul, demande-toi donc : « Les possibilités ont-elles vraiment la même chance ? »

Repère les trois éléments de la situation

• L'expérience : ce que tu fais, par exemple lancer un dé ou tirer un jeton.
• L'événement : ce que tu cherches, par exemple obtenir un nombre inférieur à 3.
• Le total des issues : toutes les possibilités que tu dois compter, favorables ou non.

La méthode en quatre actions

Lis d'abord l'événement avec précision. Ensuite, liste mentalement ou par écrit toutes les issues possibles. Sur un dé, elles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : il y en a six. Puis entoure les issues favorables. Si tu cherches un nombre supérieur à 4, tu entoures 5 et 6 : il y a deux issues favorables. Enfin, formule ta réponse dans l'ordre exact : « 2 chances sur 6 ». Le premier nombre correspond toujours à ce qui convient ; le second correspond toujours à toutes les possibilités. Ne place pas le total en premier. Pour vérifier ton résultat, demande-toi si le premier nombre est inférieur ou égal au second. Il ne peut jamais être plus grand, car les issues favorables font partie du total.

Exemple avec un dé à six faces

Comprendre les cas particuliers

Un événement impossible ne peut pas arriver. Avec un dé portant les nombres de 1 à 6, obtenir 8 est impossible : il y a 0 chance sur 6. Le nombre 0 indique qu'aucune issue n'est favorable. Un événement certain arrivera forcément. Avec ce même dé, obtenir un nombre inférieur à 7 est certain : toutes les six issues conviennent, donc il y a 6 chances sur 6. Entre ces deux cas, l'événement est possible sans être sûr. Par exemple, obtenir un nombre impair donne 1, 3 ou 5 : 3 chances sur 6. Attention : « 0 chance sur 6 » ne signifie pas qu'il faut attendre longtemps ; cela signifie que l'événement ne peut pas se produire dans cette expérience. De même, « 6 chances sur 6 » signifie que l'événement se produira à chaque fois, tant que le dé reste bien celui décrit.

La phrase à retenir

Avec des objets de couleurs

Imagine un sac opaque contenant 4 jetons bleus, 3 jetons jaunes et 1 jeton vert. Les jetons ont la même forme et la même taille ; tu en tires un sans regarder. Il y a 8 jetons au total. Pour obtenir un jeton bleu, les issues favorables sont les 4 jetons bleus. Tu dis donc : « 4 chances sur 8 de tirer un jeton bleu. » Pour obtenir un jeton qui n'est pas bleu, les issues favorables sont les 3 jetons jaunes et le jeton vert, soit 4 jetons. Il y a aussi 4 chances sur 8. Les deux événements ont les mêmes chances, car ils possèdent le même nombre d'issues favorables sur le même total. Tu peux représenter chaque jeton par un petit rond dans un dessin : cela aide à ne rien oublier.

Ne compte pas seulement les couleurs

Dans le sac précédent, il y a trois couleurs, mais tu ne dois pas dire « 1 chance sur 3 de tirer bleu ». Cette réponse compterait les couleurs au lieu de compter les jetons. Or les jetons bleus sont quatre et les autres couleurs ne possèdent pas le même nombre de jetons. Les issues sont les jetons tirés, pas les noms des couleurs. De la même manière, sur une roue où le rouge apparaît dans trois secteurs de même taille, le bleu dans deux secteurs et le jaune dans un secteur, tu comptes les six secteurs. La probabilité de tomber sur rouge est 3 chances sur 6. Pour réussir, identifie toujours ce qui peut réellement arriver une fois : un secteur, un jeton, une carte, une face du dé ou un nombre.

Organise ton comptage sans te tromper

• Dessine un trait sous chaque issue favorable ou coche-la dans une liste.
• Compte aussi les issues qui ne conviennent pas : elles font partie du total.
• Si plusieurs objets ont la même couleur, compte chaque objet séparément.
• Sur une roue, compte les secteurs seulement s'ils sont tous de même taille.
• Relis ta phrase : le mot « sur » annonce le nombre total d'issues.

Comparer des chances avec prudence

Tu peux parfois comparer deux probabilités. Si les deux situations ont le même total d'issues équiprobables, l'événement qui possède le plus d'issues favorables a le plus de chances d'arriver. Par exemple, dans un même sac de 10 jetons, tirer une couleur présente 6 fois donne plus de chances que tirer une couleur présente 2 fois : 6 chances sur 10 est plus favorable que 2 chances sur 10. Cette comparaison est valable parce que le total est identique : 10 dans les deux cas. Si les totaux sont différents, ne compare pas seulement les premiers nombres. Par exemple, 3 chances sur 4 et 4 chances sur 10 ne se comparent pas en regardant uniquement 3 et 4. Garde cette règle de robot méthodique : avant de comparer, vérifie d'abord les totaux et l'équiprobabilité.

Attention au vocabulaire

Exprime une réponse complète

Une réponse complète reprend l'événement et montre ton comptage. Écris par exemple : « Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Les nombres pairs sont 2, 4 et 6. Il y a donc 3 chances sur 6 d'obtenir un nombre pair. » Cette formulation permet à ton lecteur de comprendre ton raisonnement. Tu peux aussi écrire « 3 issues favorables sur 6 issues possibles », puis donner la phrase finale. Nova te conseille de ne jamais inventer le total : regarde ou liste toutes les possibilités. Avec cette méthode, tu sauras quantifier une probabilité clairement et expliquer ton choix avec précision.