Comparer des probabilités ; notion d'indépendance en CM2 : leçon, exercices et évaluation

Des chances, pas des certitudes

Dans une situation de hasard, tu ne peux pas savoir à l’avance avec certitude quel résultat va arriver. Tu peux pourtant dire si un résultat a beaucoup de chances, peu de chances, ou aucune chance d’arriver. Une probabilité indique la chance qu’a un évènement de se produire. Un évènement est un résultat que tu observes ou que tu attends. Par exemple, après le lancer d’un dé ordinaire à six faces, « obtenir un nombre pair » est un évènement. Les résultats possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Parmi eux, 2, 4 et 6 permettent d’obtenir un nombre pair. L’évènement possède donc trois issues favorables sur six issues possibles. Nova te conseille de commencer par imaginer ou lister tous les résultats possibles : tu comprendras alors beaucoup mieux les chances de chaque évènement.

Le vocabulaire utile

Certain, impossible ou possible

Certains évènements sont faciles à reconnaître. Un évènement certain arrivera à coup sûr. Avec un dé ordinaire, « obtenir un nombre inférieur à 7 » est certain, car toutes les faces portent un nombre de 1 à 6. Un évènement impossible ne peut jamais arriver. « Obtenir 8 » avec ce même dé est impossible. Entre les deux, les évènements sont simplement possibles : ils peuvent arriver, mais ils ne sont pas garantis. « Obtenir 3 » est possible. Attention : possible ne veut pas dire certain. Même si tu as obtenu 3 une fois, tu peux obtenir un autre nombre au lancer suivant. Quand tu compares deux évènements, un évènement certain est toujours plus probable qu’un évènement seulement possible, et un évènement impossible est toujours moins probable qu’un évènement possible.

Écrire une probabilité simple

Comparer des évènements dans une même expérience

Pour comparer deux probabilités dans une même expérience, compte les issues favorables à chaque évènement. Avec un dé équilibré, compare « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre supérieur à 4 ». Le premier évènement a trois issues favorables : 2, 4 et 6. Le second en a deux : 5 et 6. Comme les deux évènements sont observés avec le même dé, ils reposent sur les mêmes six issues possibles. Trois issues favorables sur six représentent une chance plus grande que deux issues favorables sur six. L’évènement « nombre pair » est donc plus probable. Tu peux aussi dire qu’il est moins probable d’obtenir un nombre supérieur à 4. Si les deux évènements ont le même nombre d’issues favorables parmi les mêmes issues possibles, ils sont aussi probables.

Ta méthode pour comparer deux probabilités

• Lis exactement les deux évènements : un mot comme « pair », « rouge », « supérieur » ou « inférieur » change la réponse.
• Liste les issues possibles de l’expérience ou observe le matériel proposé.
• Repère les issues favorables au premier évènement, puis compte-les.
• Repère les issues favorables au second évènement, puis compte-les.
• Vérifie que tu compares bien des chances dans le même univers, c’est-à-dire avec le même nombre d’issues possibles.
• Conclue par une phrase complète : « L’évènement … est plus probable, moins probable ou aussi probable que l’évènement … ».

Quand les dénominateurs sont les mêmes

Une fraction peut t’aider à comparer des probabilités. Sur une roue partagée en huit secteurs égaux, tomber sur une zone bleue dans trois secteurs correspond à 3/8. Tomber sur une zone jaune dans cinq secteurs correspond à 5/8. Les dénominateurs sont identiques : dans les deux cas, le tout est la même roue découpée en huit secteurs égaux. Tu compares alors les numérateurs : 5 est plus grand que 3, donc 5/8 est plus grand que 3/8. La zone jaune est plus probable. Retiens bien la condition : pour des fractions ayant le même dénominateur et représentant le même tout, la fraction qui a le plus grand numérateur est la plus grande. Ne compare pas seulement les numérateurs si les dénominateurs sont différents.

Quand le nombre d’issues possibles change

Parfois, tu compares des fractions qui n’ont pas le même dénominateur. Imagine deux sachets. Dans le premier, il y a 1 jeton rouge parmi 2 jetons. La chance de tirer rouge est 1/2. Dans le second, il y a 1 jeton rouge parmi 4 jetons. La chance de tirer rouge est 1/4. Le numérateur est le même, mais le tout n’est pas le même. Dans le premier sachet, le jeton rouge occupe une moitié ; dans le second, il n’occupe qu’un quart. La chance 1/2 est plus grande que 1/4. La règle est valable pour un même numérateur et pour des parts d’un même type de tout : plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites. Ici, une moitié est plus grande qu’un quart. Tu peux aussi dessiner deux rectangles de même taille et les partager pour vérifier.

Ne confonds pas nombre et probabilité

Comprendre l’indépendance

Répète maintenant une même expérience, par exemple plusieurs lancers d’un dé équilibré. Les lancers sont indépendants : le résultat d’un lancer ne change pas les chances au lancer suivant. Si tu viens d’obtenir 6, tu as encore une chance sur six d’obtenir 6 au lancer suivant. Le dé ne se souvient pas de ce qu’il a montré. Il n’essaie ni de « rattraper » un résultat, ni d’éviter de refaire le même. Après plusieurs 2, obtenir 2 reste possible avec la même probabilité qu’au début. Il peut sembler étonnant de revoir souvent un même résultat, mais le hasard n’a pas de mémoire. Pour justifier l’indépendance, explique que le dé est relancé dans les mêmes conditions et que ses six faces ont toujours les mêmes chances d’apparaître.

Distinguer une répétition d’un tirage sans remise

Toutes les situations répétées ne sont pas indépendantes. Observe un sac contenant des jetons et tire un jeton sans le remettre. Après ce tirage, le contenu du sac a changé. Les chances au second tirage peuvent donc changer : les deux tirages ne sont pas indépendants. Si tu remets le jeton dans le sac avant de tirer de nouveau, le contenu redevient le même. Les tirages peuvent alors être indépendants, à condition de mélanger et de tirer de la même manière. Pose-toi cette question : « Après le premier résultat, le matériel et les conditions sont-ils exactement les mêmes ? » Si oui, l’expérience suivante garde les mêmes chances. C’est le cas d’un dé relancé, d’une pièce relancée ou d’un jeton remis dans le sac.

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